통계, 분포에 대해 알기 전에

모집단과 표본집단, 추론 통계

분포에 대해 알기 전에 모집단과 표본집단의 개념에 대해 알아야 한다. 모집단이란 알고자 하는 대상 전체를 말하는 것이고 표본집단은 조사를 위해 그중 일부를 뽑은 것, 즉 샘플을 말하는 것이다.

통계를 통해 알고 싶은 것은 표본집단만으로 모집단의 특성을 알아내는 것이다.

예를 들어보자, 특정 키보드 프로토타입을 사용했을 때 문자를 보내는 속도가 일반적으로 빨라진다는 가설을 통계적으로 검정하고 싶다. 이를 위해 전체 모집단을 조사할 수는 없다. 그 대상을 모두 조사하는 것은 돈과 시간이 너무 많이 들기 때문이다. 그렇다면 어떻게 해야 할까?

표본집단을 대상으로 조사한 다음 모집단도 이런 특성을 보일 거야!라고 추론하는 방법이 최선이다. 즉, 통계적 추론 혹은 추론 통계를 하는 것이다.

그런데 여기서 한 가지 문제가 발생한다. 우리는 모집단을 대상으로 조사를 진행하지 않았기 때문에 모집단의 분포를 알 수가 없다. 분포가 뭐냐고? 그건 다음 이야기다. 먼저 분포를 알기 전에 필요한 사전 지식부터 보자.

분포를 알기 전에 알아야 할 것들

사건

분포란 일반적으로 확률변수가 어떤 값을 가질지에 대한 확률이다. ‘아 분포를 이야기하려니까 확률 변수를 이야기하네? 알아야 할 게 이렇게 많지.’ 통계를 배울 때 흔히 나오는 반응이다. 슬프지만 원래 이런 것이다. 두려워하지 말고 사건과 표본 공간에 대해 알아보자. 사건(event)이란 무엇인가. 주사위를 굴려보자. 몇 개의 사건이 생길 수 있는가? 총 6개의 사건이 생긴다. 1,2,3,4,5,6. 주사위가 정상적이라면 다른 사건은 생길 수 없다. 간혹 ‘1이 나오려다가 2가 나오는 것도 사건인가요?‘라고 묻는데 아니다. 사건은 최종적이다. 1이 나오려다가 2가 나온다면 그 사건은 그냥 2이다.

표본 공간

사건을 ‘집합’으로 만들면 표본 공간이 된다. S = {1,2,3,4,5,6}. 이게 표본 공간이다.

확률변수

여기서 확률 변수가 탄생한다. 사건마다 수를 하나씩 붙인 것, 그것이 확률변수 X다. X가 어떤 값을 가질 확률은 P(X=1)처럼 적는다. 위의 주사위의 경우를 살펴보자. P(X=1)은 X가 1이라는 값을 가질 확률이다. 얼마일까? 1/6이다. P(X=2)는? 1/6이다. 확률 변수는 ‘함수’이다. 함수란 ‘특정 값을 넣었을 때 특정 값이 나오는 것’이다.

P는 X에 2라는 값을 넣었을 때 1/6이 나오는 함수, 즉 입력값 2에 출력값 1/6을 매핑하는 관계다.

결국 확률변수란 사건에 수를 하나씩 대응시키는 함수이고, 그 수에 확률을 대응시키는 것이 P다.